„Generalized Pareto Distribution (GPD)“ ist ein statistisches Modell, das verwendet wird, um die Verteilung von Extremwerten (auch als Tails genannt) in Finanzdaten zu beschreiben. Es wird oft verwendet, um Risiken in Finanzportfolios zu quantifizieren und zu verwalten.
Das GPD-Modell besteht aus zwei Parametern: dem Schwellenwert (threshold) und dem Shape-Parameter (k). Der Schwellenwert legt fest, ab welchem Wert die Verteilung als extrem angesehen wird und der Shape-Parameter beschreibt die Steilheit des Tails.
Die GPD-Formel lautet:
F(x) = 1 – (1 + k*(x-u)/sigma)^(-1/k)
wobei F(x) die Wahrscheinlichkeit darstellt, dass ein Wert x oder größer auftritt, u der Schwellenwert ist, sigma die Standardabweichung und k der Shape-Parameter.
Beispiel für „Generalized Pareto Distribution (GPD)“:
Ein Beispiel für die Verwendung der Generalized Pareto Distribution (GPD) im Trading könnte sein, dass ein Händler die Verteilung der Verluste in einem Portfolio untersucht. Der Händler stellt fest, dass einige Verluste viel größer sind als andere und dass diese größeren Verluste nicht gut mit einer normalen Verteilung beschrieben werden können. Sie nutzt die GPD-Formel, um die Verteilung dieser größeren Verluste genauer zu modellieren und so das Risiko des Portfolios besser zu verstehen und zu verwalten.
Was sind die Parameter der GPD-Verteilung ?
Die Generalized Pareto Distribution (GPD) hat drei Parameter: den Schwellenwert x_m, den Scale-Parameter k und den Shape-Parameter $\xi$.
Der Schwellenwert x_m gibt an, ab welchem Wert die GPD gilt. Der Scale-Parameter k gibt an, wie schnell die Verteilung ab dem Schwellenwert abfällt. Der Shape-Parameter $\xi$ gibt an, wie stark die Verteilung von der Schulter abweicht.
Welche Form hat die generalisierte Pareto-Verteilung ?
Die Generalized Pareto Distribution (GPD) hat eine Schulter-Form, ähnlich wie die Pareto-Verteilung, aber mit einer langen Schwanzverteilung.
Die Verteilungsfunktion der GPD ist
$F(x)=1-\left(1+\frac{k(x-x_m)}{\xi}\right)^{-1/\xi}$
für $x\geq x_m$ und 0 sonst.
Die Dichtefunktion der GPD ist
$f(x)=\frac{k}{\xi}\left(1+\frac{k(x-x_m)}{\xi}\right)^{-1-1/\xi}$
für $x\geq x_m$ und 0 sonst.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Wert größer als ein bestimmter Schwellenwert x_m ist, ist gegeben durch $1-F(x_m)$ und die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Wert innerhalb eines bestimmten Intervalls liegt, ist gegeben durch $F(b)-F(a)$.
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